【基本情報】CPU性能計算、鍵は「1秒・1命令・1アクセスあたり」の整理｜MIPS・CPI・キャッシュ

MIPS、クロック周波数、CPI、実効アクセス時間。用語が多いせいで難しく見えますが、この分野の問題は「1秒あたり」「1命令あたり」「1アクセスあたり」のどの量を求めているのかを整理すると、急に見通しがよくなります。

そして手を動かす前に確認したいのが、問題文の条件です。周波数の単位（GHzかMHzか）、CPIは平均か命令種別ごとか、命令数は与えられているか、キャッシュミス時の時間は「総時間」か「追加時間」か、ヒット率かミス率か、そして答えの単位。特にキャッシュのところは後半でじっくりやります。

登場人物の整理

CPIは、クロック周波数と実行命令数が同じなら、小さいほど実行時間を短くできます。MIPSは、同じ処理を同じ実行コードで動かすなど、実行される命令の内容と動的命令数が同等とみなせる場合に、大きいほどCPU実行時間が短くなります。この「条件付き」の意味はあとで説明します。ちなみに似た指標のFLOPSは「1秒あたりの浮動小数点演算回数」で、科学技術計算向けの別の物差しです。

基本の式：CPU実行時間

個別の公式のおおもとになるのがこれです。

CPU実行時間 ＝ 実行命令数 × 平均CPI ÷ クロック周波数
（クロック周期で書くなら：実行命令数 × 平均CPI × クロック周期）

「命令が何個あって、1命令に何クロックかかって、1クロックが何秒か」を掛けているだけ。ここから、

1命令あたりの平均実行時間 ＝ 平均CPI ÷ クロック周波数 ＝ 平均CPI × クロック周期

も出てきます。なお実行命令数は「実際に実行された命令の数（動的な数）」です。

ここでひとつ区別を。この式で出るのはCPU実行時間——対象処理にCPUが使った時間です。I/O待ち・通信待ち・他プロセスの実行時間まで含む経過時間とは別物なので、問題文で「各時間が重ならず順に発生する」と読み取れる場合にだけ加算します。並行して発生する時間や、すでに総時間に含まれている時間を二重に足さないでください。また、問題文のCPIが「キャッシュミスなどの待ちクロックを含んだ平均CPI」なのか「基本処理だけのCPI」なのかも確認を。停止クロックが別に与えられているのに、待ち込みのCPIにさらに足すと二重計上になります。

MIPS：「1秒あたり何百万命令か」

IPS ＝ クロック周波数［Hz］ ÷ 平均CPI
MIPS ＝ クロック周波数［Hz］ ÷（平均CPI × 10^6）

単位換算込みの形も置いておきます。周波数がMHzならそのまま割るだけ、GHzなら1,000倍してから割ります。

MIPS ＝ 周波数［MHz］ ÷ 平均CPI
MIPS ＝ 周波数［GHz］ × 1,000 ÷ 平均CPI

例題：2.4GHzのCPUが、1命令を平均4クロックで実行する。性能は何MIPS？

Hzで：2.4×10^9 ÷ 4 ＝ 6×10^8 命令/秒 ＝ 600MIPS
GHz形式で：2.4 × 1,000 ÷ 4 ＝ 600MIPS

ミスしやすいのは2パターン。「1命令＝1クロックと思い込んで周波数をそのままMIPSにする」（2400MIPSという大きめの誤答）と、「GHzの2.4をそのまま割って0.6MIPSにする」（単位換算の抜け）。式に入れる前に単位を書くと、この種の計算ミスを防ぎやすくなります。

MIPSだけでCPUの優劣は決まらない

ひとつ大事な注意。MIPSは「命令の個数」を数えているだけで、1命令がどれだけ仕事をするかは見ていません。MIPSで速さを比較できるのは、実行される命令の内容と動的命令数が同じ（同等とみなせる）場合——たとえば同じ実行コードを別のCPUで動かす場合です。同じ命令セットでも、コンパイラや最適化が違えば実行命令数は変わりますし、異なる命令セット間ではそもそも1命令の仕事量が違うのでMIPSだけでは比較できません。最も確実なのは、同じ処理の実行時間そのものを比べること。CPU実行時間は命令数・平均CPI・クロック周波数の3つ全部で決まる、が結論です。試験の計算問題では、問題文が与えた命令数・CPI・周波数の枠内で素直に計算すればOKですが、「異なるCPUをMIPSだけで比較できるか」という知識問題では「できない」側が正解です。

平均CPIは「実行割合で重み付け」

命令ごとにかかるクロック数が違う問題は、加重平均で解きます。

平均CPI ＝ Σ（各命令種別のCPI × 実行割合）

ここでの割合は、実際に実行された命令数に占める割合（動的な命令ミックス）です。ソースコードに書いてある命令の個数ではなく、分岐や繰り返しで何回実行されたかで数えます。割合の合計は必ず1（100%）になっているか、最初に確認してください。

例題：命令の70%は2クロック、残り30%は6クロックで実行される。平均CPIは？

2×0.7 ＋ 6×0.3 ＝ 1.4 ＋ 1.8 ＝ 3.2

単純平均で（2＋6）÷2＝4とやると、「よく実行される軽い命令」の貢献が消えてしまいます。テストの平均点と同じで、人数（割合）を掛けてから足す。3種類でも同じです：CPI1が50%・CPI3が30%・CPI5が20%なら、1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4。割合ではなく命令数そのものが与えられたら、Σ（各命令数×CPI）÷総命令数で同じ平均CPIが出ます。

逆算パターン：式を回すだけ

CPU実行時間の基本式とMIPSの式は、どこを聞かれても変形で対応できます。

平均CPI ＝ 周波数［Hz］ ÷（MIPS × 10^6）
周波数［Hz］ ＝ MIPS × 10^6 × 平均CPI
実行命令数 ＝ CPU実行時間 × 周波数 ÷ 平均CPI
CPU実行時間 ＝ 実行命令数 × 平均CPI ÷ 周波数

例題：400MIPSのCPUが、同じ命令体系で8×10^8命令を実行する。CPU実行時間は？

8×10^8 ÷（400×10^6）＝ 2秒

MIPSは「毎秒4×10^8命令」のこと。あとは命令数を速度で割るだけです。

クロック周期は「周波数の逆数」

クロック周期［秒］ ＝ 1 ÷ クロック周波数［Hz］（逆も同じ：周波数 ＝ 1 ÷ 周期）

例題：2GHzのCPUの1クロックの時間は？

1 ÷（2×10^9）＝ 0.5×10^-9 秒 ＝ 0.5ナノ秒

ここは単位の変換が本体です。

代表例：1GHz→1ns、2GHz→0.5ns、500MHz→2ns、周期4ns→250MHz。「ギガとナノはペア」と覚えるのは便利ですが、ペアなのは単位の桁の話で、数値そのものは逆数（2GHz→0.5ns）になる点に注意してください。周波数が高いほど周期は短い。周波数をHz、周期を秒と、対応する単位にそろえれば「周波数×周期＝1」が成立します。

ついでにMIPSの例題と接続しておくと、2.4GHzの周期は1÷(2.4×10^9)＝約0.4167ns、CPI4なら1命令あたり4×0.4167＝約1.6667ns、1秒÷1.6667ns＝約6×10^8命令/秒＝600MIPS。ちゃんと同じ答えに戻ってきます（0.4167を早く丸めすぎると最後がズレるので、割り算のまま持ち回るのが安全です）。

実効アクセス時間：問題文の「時間の定義」で式が変わる

キャッシュメモリの問題も正体は加重平均ですが、ここに特に取り違えやすいポイントがあります。問題文の「主記憶のアクセス時間」が、

• A：ミスしたときの、アクセス開始からデータ取得までの総時間なのか
• B：キャッシュを確認したあとに追加でかかる時間なのか

で、式と答えが変わるんです。

モデルA：ヒット時・ミス時の「総時間」が与えられる場合

実効アクセス時間 ＝ ヒット率 × ヒット時の総時間 ＋（1−ヒット率）× ミス時の総時間

例題：キャッシュにヒットした場合の総アクセス時間は5ns。ミスした場合、アクセス開始から主記憶のデータを得るまでの総時間は55ns。ヒット率0.9のとき、実効アクセス時間は？

5×0.9 ＋ 55×0.1 ＝ 4.5 ＋ 5.5 ＝ 10ナノ秒

問題文でヒット時とミス時の総時間がそれぞれ示されていたら、この加重平均の式です。「速いほうにヒット率、遅いほうに（1−ヒット率）」という覚え方が通用するのは、このモデルAの話。

モデルB：キャッシュを確認してから主記憶へ行く場合

「まずキャッシュを5nsで確認し、ミスだったら追加で主記憶に55nsアクセスする」という直列の設定なら、キャッシュ確認の5nsは全アクセスで必ず発生するので、

実効アクセス時間 ＝ キャッシュ時間 ＋（1−ヒット率）× 追加の主記憶時間

同じ数値で計算すると：5 ＋ 0.1×55 ＝ 10.5ナノ秒。モデルAと0.5ns違います（＝ミス時にもキャッシュ確認時間を払っている分）。ちなみにこの式は「0.9×5＋0.1×(5＋55)」と書いても同じ値になります。

解き方：経路を書き出してから平均する

覚え方だけに頼らず、この手順で解くのが確実です。

1. ヒット時に通る経路と、その総時間を書く
2. ミス時に通る経路と、その総時間を書く
3. それぞれにヒット率h、ミス率（1−h）を掛けて足す

問題文の「主記憶アクセス時間55ns」が総時間か追加時間か、最初に判定する。これだけで両モデルを取り違えません。ミスペナルティという用語が出てきた場合も同じで、標準的には「キャッシュミスによって追加で必要になる時間」を指すことが多いのですが、試験問題では独自の言い回しや「主記憶アクセス時間」が使われることもあります。最終的には問題文の定義と経路で判断してください。追加時間の意味なら「実効 ＝ キャッシュ時間 ＋ ミス率 × ミスペナルティ」です。

必要なヒット率の逆算

「実効を◯ns以下にしたいとき、必要なヒット率は？」という逆算も、使った式をhについて解くだけです。

総時間モデル：E ＝ h×T_hit ＋（1−h）×T_miss を変形して、

h ＝（T_miss − E）÷（T_miss − T_hit）

例題：ヒット時4ns、ミス時の総時間44ns。実効アクセス時間を8nsにするために必要なヒット率は？

h ＝（44−8）÷（44−4）＝ 36÷40 ＝ 0.9（90%）

直列モデルなら E ＝ T_c ＋（1−h）×T_m から h ＝ 1 −（E−T_c）÷T_m。どちらの式を使うかは、問題文の時間定義で決まります。

検算のコツをひとつ。実現できる目標Eには範囲があって、総時間モデルならT_hit ≦ E ≦ T_miss、追加時間モデルならT_c ≦ E ≦ T_c＋T_m。計算したhが0〜1に収まっているかを必ず確認してください。範囲の外に出たら、目標が実現不可能か、時間定義の取り違えか、式・単位のミスのどれかです（例：さっきの条件で目標E＝2nsとするとh＝1.05になり、その時点でおかしいと分かります）。

アムダールの法則：速くならない部分が上限を決める

演習でも扱う並列化・高速化の定番です。変数の意味を正確に：pは「改善前の全実行時間のうち、高速化対象部分が占めていた時間の割合」（0≦p≦1。処理件数やコード量の割合とは限りません）、sはその部分だけの速度向上倍率（s＞0、高速化なら通常s≧1）。このとき、

全体の速度向上率 ＝ 1 ÷（(1−p) ＋ p/s）

例題：改善前の実行時間の80%を占めていた処理を、その部分だけ4倍の速度にした。全体では何倍速くなる？

1 ÷（0.2 ＋ 0.8/4）＝ 1 ÷ 0.4 ＝ 2.5倍

一部を4倍にしても、全体は4倍になりません。高速化できない20%がそのまま残るからです。極端な話、80%の部分を無限に高速化しても、全体は 1÷0.2 ＝ 5倍が上限。「速くならない部分が天井を決める」、これがアムダールの法則の核心です。

ついでに速度向上率の基本も。速度向上率 ＝ 旧実行時間 ÷ 新実行時間です。10秒が4秒になったら10÷4＝2.5倍。これは「実行時間を60%短縮」と同じ状況ですが、「60%短縮＝1.6倍」ではありません。一般式にすると、時間をr（小数）だけ短縮したら新時間は旧時間の（1−r）倍なので、速度向上率＝1÷（1−r）。60%短縮なら1÷0.4＝2.5倍です。

ありがちなミスまとめ

仕上げに演習10問どうぞ

演習では、MIPSの正逆計算、平均CPI、クロック周期、実効アクセス時間と必要ヒット率の逆算、そして「並列化しても速くならない部分がある」というアムダールの法則の入門問題を確認できます。「時間の定義を確認してから式を選ぶ」練習にどうぞ。

今日のまとめ

• 基本の式はCPU実行時間＝命令数×平均CPI÷クロック周波数。CPU実行時間と経過時間は区別する
• MIPSは周波数[Hz]÷(平均CPI×10^6)。比較に使えるのは動的命令数が同等とみなせる場合
• 平均CPIは動的な命令ミックスの加重平均。割合の合計100%を最初に確認
• MIPSだけでは異なる命令体系のCPUを絶対評価できない
• クロック周期は周波数の逆数。「ギガとナノはペア、数値は逆数」
• 実効アクセス時間はヒット経路とミス経路を書き出して加重平均。ミス時の55nsが「総時間」か「追加時間」かで答えが変わる（10ns vs 10.5ns）
• アムダールの法則：高速化できない部分が全体の上限を決める

次回は「待ち行列」。M/M/1待ち行列の前提と基本式を整理します。

参考資料

• IPA「基本情報技術者試験（レベル2）シラバス Ver.9.2」

本記事の例題は、基本情報技術者試験の出題範囲及び標準的なコンピュータ性能指標を参考に、当サイトで独自に作成したものです。

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