「誤差伝播と測定精度の比較」の問題集です。一問一答4問、五肢択一6問。各問題の「正解・解説を見る」を開いて答えを確認してください。
一問一答（○×）
問1 ○×
独立な2量の和の分散は、それぞれの分散の和になります。
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正解：○
正しいです。独立で共分散が0のため、Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)です。
根拠：計算で検証：Var(X+Y)の展開、Cov=0
問2 ○×
独立な2量の差X−Yの分散は、Var(X)−Var(Y)で求めます。
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正解：×
誤りです。差でも分散は加算します。Var(X−Y)=Var(X)+Var(Y)です。
根拠：計算で検証：Var(X−Y)の展開
問3 ○×
量Xの標準偏差がσであるとき、−3Xの標準偏差は−3σになります。
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正解：×
誤りです。標準偏差は非負で、係数の絶対値を使います。−3Xの標準偏差は3σです。
根拠：計算で検証：分散の定義
問4 ○×
相関のある2量の和の分散を求める場合、一般に共分散の項も考慮します。
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正解：○
正しいです。Var(X+Y)=σX²+σY²+2Cov(X,Y)です。無条件に共分散を0としません。
根拠：計算で検証：分散と共分散の定義
五肢択一
問5 正しいもの
独立で同精度の9量を足し合わせます。各量の標準偏差は2 mmです。和の標準偏差は何mmですか。1 mm単位の整数で答えてください。
- 1
- 2
- 4
- 6
- 18
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正解：4
正解は4です。分散は9×2²=36 mm²、標準偏差は√36=6 mmです。平均の標準偏差とは違います。
根拠：計算で検証：nσ²の平方根
選択肢1：誤りです。平均の標準偏差2/√9を整数へ丸めています。求めるのは和です。
選択肢2：誤りです。和の分散が増えることを無視しています。
選択肢3：誤りです。単観測の分散2²の数値を標準偏差にしています。
選択肢4：正しいです。√9×2=6 mmです。
選択肢5：誤りです。標準偏差を直接9個足しています。
問6 正しいもの
独立な測定量X、Yの代表値は4 m、3 m、標準偏差は0.2 m、0.1 mです。面積f=XYの標準偏差を、微小誤差の一次近似で求めてください。√0.52=0.7211とし、最後に0.01 m²位へ四捨五入します。
- 0.22 m²
- 0.72 m²
- 0.52 m²
- 1.00 m²
- 0.85 m²
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正解：2
正解は2です。感度係数は∂f/∂X=Y=3 m、∂f/∂Y=X=4 m。分散≈(3×0.2)²+(4×0.1)²=0.52 m⁴より標準偏差≈0.7211→0.72 m²です。高次の積の誤差項は指定に従い無視します。
根拠：計算で検証：一次テイラー展開と分散展開
選択肢1：誤りです。感度係数を掛けず√(0.2²+0.1²)を求めています。
選択肢2：正しいです。一次近似の感度係数を用いて分散を合成します。
選択肢3：誤りです。分散0.52 m⁴の数値を標準偏差にしています。
選択肢4：誤りです。0.6+0.4と標準偏差成分を直接加算しています。
選択肢5：誤りです。感度係数を取り違え、√{(4×0.2)²+(3×0.1)²}=√0.73を求めています。
問7 正しいもの
距離150 m先の点の方向角の標準偏差は8″です。距離の誤差を無視し、方向角0付近で小角近似により横方向位置の標準偏差を求めてください。1 rad=206265″とし、最後に0.1 mm位へ四捨五入します。
- 0.0 mm
- 0.7 mm
- 1200.0 mm
- 46.5 mm
- 5.8 mm
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正解：5
正解は5です。σθ=8/206265 rad、横方向σ=150×8/206265 m≈0.0058178 m=5.8178 mm→5.8 mmです。
根拠：計算で検証：角度単位の定義
計算で検証：微分D cosθ及び一次近似
選択肢1：誤りです。mからmmへの換算をせず、0.0058178を0.1 mm位へ丸めています。
選択肢2：誤りです。角度8″を掛け忘れ、150/206265 mをmmへ換算しています。
選択肢3：誤りです。ラジアン換算を落とした150×8の数値をmmの値にしています。
選択肢4：誤りです。角度8を二重に掛け、150×8²/206265 mを換算しています。
選択肢5：正しいです。角秒をラジアンに変換してから距離を掛け、mmへ換算します。
問8 正しいもの
距離測定Aは200 mに対して標準偏差4 mm、Bは500 mに対して標準偏差5 mmです。相対標準偏差σ/Dによる比較として正しいものを選んでください。
- Aは1/50000、Bは1/100000で、Bの相対精度が高いです。
- Aの4 mmはBの5 mmより小さいので、相対精度もAが高いです。
- Aは1/50、Bは1/100なので、相対精度はBが高いです。
- Bは1/100000なので、Aの1/50000より相対標準偏差が大きいです。
- AとBは標準偏差が1 mmしか違わないので、相対精度は等しいです。
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正解：1
正解は1です。Aは0.004/200=1/50000、Bは0.005/500=1/100000。Bの相対標準偏差が小さく、相対精度はBの方が高いです。
根拠：計算で検証：無次元比σD/Dの定義
選択肢1：正しいです。距離と標準偏差をともにmで計算します。
選択肢2：誤りです。絶対標準偏差だけでは相対精度を比較できません。
選択肢3：誤りです。mmとmを揃えず、比が1000倍になっています。
選択肢4：誤りです。分母が大きい方の値は小さくなります。
選択肢5：誤りです。σ/Dはそれぞれ異なり、相対標準偏差はBがAの半分です。
問9 いくつあるか
誤差伝播について正しい記述はいくつありますか。各記述の2量は独立とし、角度から位置への伝播は微小誤差の一次近似です。
ア：2量の和の分散は、各分散の和です。
イ：2量の差の分散は、各分散の差です。
ウ：−2Xの標準偏差は、Xの標準偏差の2倍です。
エ：同じ方向角標準偏差のまま距離を2倍にすると、横方向位置の標準偏差も2倍です。
- 0個
- 1個
- 2個
- 3個
- 4個
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正解：4
正解は4（3個）です。ア・ウ・エは正しく、イは誤りです。独立量の差でも分散を加算します。
根拠：計算で検証：Var(X+Y)の展開、Cov=0
計算で検証：Var(X−Y)の展開
計算で検証：分散の定義
計算で検証：Dσθの比例関係
選択肢1：誤りです。ア・ウ・エの3記述が正しいです。
選択肢2：誤りです。正しい記述を2つ落としています。
選択肢3：誤りです。正しい記述は3個です。
選択肢4：正しいです。ア・ウ・エです。
選択肢5：誤りです。イは差の分散の扱いが誤っています。
問10 正しいもの
独立な量X、Yの標準偏差はそれぞれ1 mm、2 mmです。q=2X−Yの標準偏差を求めてください。√2=1.4142とし、最後に0.01 mm位へ四捨五入します。
- 0.00 mm
- 2.45 mm
- 2.83 mm
- 4.00 mm
- 8.00 mm
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正解：3
正解は3です。線形の感度係数2、−1を用い、Var(q)=2²×1²+(−1)²×2²=8 mm²。σq=2√2=2.8284→2.83 mmです。
根拠：計算で検証：Var(X+Y)の展開、Cov=0
計算で検証：Var(X−Y)の展開
計算で検証：分散の定義
計算で検証：一次テイラー展開と分散展開
選択肢1：誤りです。2×1−2と標準偏差を符号付きで直接引いています。
選択肢2：誤りです。係数2を二乗せず、√(2×1²+2²)=√6を求めています。
選択肢3：正しいです。係数を二乗して分散を加算し、平方根を求めます。
選択肢4：誤りです。2×1+2と標準偏差を直接足しています。
選択肢5：誤りです。合成分散8 mm²を標準偏差として答えています。
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