測量士補｜誤差分類・最確値・標準偏差

正解：○

正しいです。法則的な成分と、変動する偶然成分を分けて扱います。
根拠：計算で検証：誤差モデルl=x+b+εの定義

正解：×

誤りです。同条件でも偶然成分は変動し得ます。同じ方法で測ることは偶然誤差の固定を意味しません。
根拠：計算で検証：確率変数εと反復観測の定義

正解：○

正しいです。過誤を正常な観測誤差として調整で正当化しません。異常に見えるだけで機械的に除外することとも違います。
根拠：計算で検証：観測モデルの前提と過誤の別扱い；誤転記の算術例；作業規程の準則 第65条・第69条（不良観測の再測等） [https://www.gsi.go.jp/common/000258734.pdf]（令和7年3月31日改正版）

正解：×

誤りです。平均にも共通の偏りbがそのまま残ります。独立な偶然成分の減少とは区別します。
根拠：計算で検証：平均モデル及び共通偏りの反例

正解：3

正解は3です。x=(7.995+8.001+8.004)/3=8.000 m。v₂=8.001−8.000=+0.001 mです。残差の符号は設問の定義に従います。
根拠：計算で検証：最小二乗目的関数の微分Σ(l_i−x)=0
計算で検証：平均を代入した残差和の恒等式

選択肢1：誤りです。最確値は正しいですが、残差を逆符号で計算しています。
選択肢2：誤りです。2回目の観測値を最確値にしており、3値の平均ではありません。
選択肢3：正しいです。算術平均と、観測値−平均による残差です。
選択肢4：誤りです。観測値の合計を3で割っていません。
選択肢5：誤りです。最初の2値だけの平均で、3回目を落としています。

正解：4

正解は4です。重量比は(1/2²):(1/1²)=1:4。最確値=(30.000+4×30.006)/5=30.0048 m→30.005 mです。
根拠：計算で検証：重量付き最小二乗の微分
計算で検証：重量の定義；作業規程の準則 第70条第1項第二号 [https://www.gsi.go.jp/common/000258734.pdf]（令和7年3月31日改正版）

選択肢1：誤りです。重量比を4:1と逆にすると30.0012 m→30.001 mになります。
選択肢2：誤りです。異精度を無視して単純平均をとっています。
選択肢3：誤りです。標準偏差の逆数で重量比1:2にすると30.004 mで、分散の逆数ではありません。
選択肢4：正しいです。重量比1:4で平均し、最後に四捨五入します。
選択肢5：誤りです。精度の高い観測だけを採用しています。両観測を指定重量で使います。

正解：2

正解は2です。平均12.000 mに対する残差は+2、−2、0 mm。二乗和8 mm²、不偏分散8/(3−1)=4 mm²よりs=2 mmです。
根拠：計算で検証：平均を代入した残差和の恒等式
計算で検証：E[Σ(l_i−平均)²]=(n−1)σ²の導出

選択肢1：誤りです。残差の絶対値4 mmを自由度2で割った2 mmを分散と誤認し、平方根を丸めると1になります。分散は二乗和から求めます。
選択肢2：正しいです。√{8/(3−1)}=2 mmです。
選択肢3：誤りです。分母を落として√8を整数へ丸めています。
選択肢4：誤りです。不偏分散4 mm²を標準偏差の数値として答えています。
選択肢5：誤りです。残差の二乗和8 mm²のままで、自由度による除算と平方根を行っていません。

正解：5

正解は5です。平均の標準偏差は6/√n mm。n=4で3 mm、n=16で1.5 mmです。4倍の回数で半分になり、4分の1にはなりません。
根拠：計算で検証：Var(Σl_i/n)=Σσ²/n²
計算で検証：σ/√(4n)=σ/(2√n)

選択肢1：正しい説明です。6/√4=3 mmです。
選択肢2：正しい説明です。6/√16=1.5 mmです。
選択肢3：正しい説明です。3:1.5=2:1です。
選択肢4：正しい説明です。分散は36/n mm²です。
選択肢5：誤った説明です。標準偏差は平方根の逆数に比例し、この場合は半分です。

正解：1

正解は1です。ア・ウ・エが正しく、イは誤りです。過誤の点検、分散に反比例する重量、平均に残る共通偏りをそれぞれ区別します。
根拠：計算で検証：誤差モデルl=x+b+εの定義
計算で検証：観測モデルの前提と過誤の別扱い；誤転記の算術例；作業規程の準則 第65条・第69条（不良観測の再測等） [https://www.gsi.go.jp/common/000258734.pdf]（令和7年3月31日改正版）
計算で検証：重量の定義；作業規程の準則 第70条第1項第二号 [https://www.gsi.go.jp/common/000258734.pdf]（令和7年3月31日改正版）
計算で検証：平均モデル及び共通偏りの反例

選択肢1：正しいです。系統誤差、重量比、平均の偏りの3記述が正しいです。
選択肢2：誤りです。イは過誤の未点検を正当化し、正しいエを落としています。
選択肢3：誤りです。イを除き、アを加えます。
選択肢4：誤りです。重量比を述べるウも正しいです。
選択肢5：誤りです。ア・エも正しいです。

正解：3

正解は3です。平均1個を推定した自由度はn−1です。平均の標準偏差はs/√nとなります。
根拠：計算で検証：E[Σ(l_i−平均)²]=(n−1)σ²の導出
計算で検証：Var(Σl_i/n)=Σσ²/n²

選択肢1：誤りです。不偏分散の自由度と標準偏差の縮小率がどちらも違います。
選択肢2：誤りです。不偏分散の分母は正しいですが、標準偏差をnで割りません。
選択肢3：正しいです。自由度n−1と、平均の標準偏差の平方根則です。
選択肢4：誤りです。推定した平均を考慮すると自由度は減り、n+1にはなりません。
選択肢5：誤りです。不偏分散の分母はn−1、平均化の分母は√nです。