【基本情報】確率・期待値の計算、鍵は「条件の確認」です｜余事象・条件付き確率・順列組合せ

確率の分野、高校時代の記憶が薄い人ほど身構えがちですが、この記事では、基本情報技術者試験のシラバスに含まれる確率分野のうち、基礎となる計算パターンを扱います。特に使いやすい考え方は2つ、「余事象」と「期待値」（結果に確率を重みとして付けた平均、いわば重み付き平均です）。ただしこの2つを正しく使うには、問題文の条件確認がセットで要ります。

具体的には、試行は独立か、事象は排反か、取り出したものを戻すか、順番や役割を区別するか、同じものを繰り返し選べるか。この確認を飛ばして「とにかく掛ける」と、正しい式を選べないことがあります。順番にやっていきましょう。

最初に整理：事象の関係

ひとつだけ先に押さえておきたいのが、排反と独立は別の概念だということ。排反は「同時に起こらない」、独立は「片方が起きても確率が変わらない」。P(A)＞0かつP(B)＞0の2つの事象が排反なら、P(AかつB)＝0なのにP(A)×P(B)＞0となるため、この2つは独立ではありません。言い換えると、どちらも起こる可能性がある2つの事象が排反なら、一方が起きた時点で他方は起きないので独立ではない、ということです。ごっちゃにすると加法と乗法の使い分けを間違えます。

主戦力1：「少なくとも1回」と来たら余事象

P(Aの余事象) ＝ 1 − P(A)
P(少なくとも1回成功) ＝ 1 − P(成功が0回)

例題：表と裏が同じ確率で出る公平なコインを、各回が互いに独立になるように2回投げる。少なくとも1回は表が出る確率は？

「少なくとも1回」を正面から数えると、「1回目だけ表」「2回目だけ表」「両方表」…と場合分けが増えて面倒です。そこで逆から。「少なくとも1回表」の反対は「1回も表が出ない（2回とも裏）」です。

2回とも裏 ＝ 1/2 × 1/2 ＝ 1/4
少なくとも1回表 ＝ 1 −（1/2）² ＝ 3/4

裏×裏を掛け算できるのは、各回が独立だから。ここは後でもう一度出てきます。

一般化しておくと、独立な試行をn回、1回の成功確率pで行うとき、

P(少なくとも1回成功) ＝ 1 −（1−p）ⁿ

成功確率が回ごとに違っても独立なら 1−（1−p₁）（1−p₂）…（1−pₙ）。稼働率の並列計算——「1−全台が同時に停止する確率」、故障が互いに独立という前提の計算——とまったく同じ発想です。稼働率の記事を読んだ人は、もうこの道具を持っています。

注意：「少なくとも2回」の余事象は「全部失敗」ではない

余事象が「全部失敗」で済むのは「少なくとも1回」のときだけです。「少なくとも2回」の反対は「0回または1回」。一般には、

P(X ≧ k) ＝ 1 − P(X ≦ k−1)

です。「少なくとも」の4文字に反応する前に、反対の事象を文章で書き出す。「『少なくとも2回成功』の余事象は、成功が0回または1回」と書ければ、引き忘れは起きません。「少なくとも」と来たら常に全失敗の確率を引く、ではない点に注意してください。

「または」と「かつ」の公式

余事象と並ぶ基本セットです。

加法定理：P(AまたはB) ＝ P(A) ＋ P(B) − P(AかつB)（排反なら P(A)＋P(B)）
乗法定理：P(AかつB) ＝ P(A) × P(B|A)（独立なら P(A)×P(B)）
条件付き確率：P(B|A) ＝ P(AかつB) ÷ P(A)（ただしP(A)＞0）

加法定理の一般形では、重なりP(AかつB)を一度引きます。AとBが排反ならP(AかつB)＝0なので、結果として足すだけの形になる、という関係です。

そして大事なのは乗法定理の形。「かつ」の確率は、一般形ではP(A)×P(B|A)、つまり「Aが起きた後の世界でのBの確率」を掛けます。AとBが独立な場合に限り、P(B|A)＝P(B)になるので単純な掛け算でOKになる。掛け算する前に、1回目の結果で2回目の確率が変わらないかを確認する。ここが特に確認したいポイントです。

主戦力2：期待値は「重み付き平均」

E[X] ＝ Σ（値 × その値になる確率）

例題：くじを1回引くと、確率0.1で1,000円、確率0.4で100円、残り（確率0.5）はハズレで0円。もらえる金額の期待値は？

1,000×0.1 ＋ 100×0.4 ＋ 0×0.5 ＝ 100 ＋ 40 ＝ 140円

確率の合計が 0.1＋0.4＋0.5＝1 になっていることも確認してください。合計が1にならないときは、場合の数え漏れ・重複・確率設定の誤りのどれかがないか見直します。代表的なミスは、金額を単純平均してしまう（(1000+100+0)÷3）パターンです。

期待値の意味：1回の結果は保証しない

期待値は、同じ条件の試行を十分多く繰り返したとき、1回あたりの平均が近づいていく値、と理解できます。1回引いて140円もらえることを保証する値ではありません。公平な6面サイコロの期待値は3.5ですが、3.5の目は存在しないのと同じです。

「受取額」か「利益」かを確認する

さっきのくじの参加費が120円だったら？

期待払戻額：140円
期待利益：140 − 120 ＝ 20円（期待利益 ＝ 期待払戻額 − 固定参加費）

問題が「受取額」「利益」「損失」のどれを聞いているかで、参加費を引くかが変わります。引き忘れ（あるいは引きすぎ）に注意。

ついでに便利な性質をひとつ。E[X＋Y] ＝ E[X] ＋ E[Y]（期待値の加法性）。これはXとYが独立でなくても成り立ちます。独立性が要るのは確率を掛けるときで、期待値を足すだけなら不要、と覚えておくと役立ちます。

CとPの見分け方：「役割」と「重複」の2チェック

順列（P）と組合せ（C）の見分けは、まず「選ばれたものに役割や順番の区別があるか？」。

• 区別なし（委員を3人選ぶ）→ 組合せC
• 区別あり（会長・副会長・書記を選ぶ）→ 順列P

これに加えてもうひとつ、「同じものを繰り返し選べるか？」も確認します。一般式はこうです（n個の異なるものから、重複を許さずr個を選ぶ場合。0≦r≦n）。「役割ありはP、なしはC」の見分け方も、この重複なしの基本形での話です。

nPr ＝ n! ÷ (n−r)!　　nCr ＝ n! ÷ {r!(n−r)!}　　（n! ＝ n×(n−1)×…×1、0!＝1）

例題：6人から、同じ役割を担当する当番を2人選ぶ（選ぶ順番は区別しない）。何とおり？

当番に役割の区別はないので組合せ。6C2 ＝ 6×5÷2 ＝ 15とおり

2!で割らずに30とすると、並べ方を重複して数えた値になります。逆に「組合せなら2で割る」と丸暗記するのも危険です。2で割るのは2人選ぶから（2!＝2）。3人選ぶなら3!＝6で割ります。「AさんとBさん」も「BさんとAさん」も同じ組だから、並べ替えのダブリr!で割る、が正体です。役割ありなら割らずに6×5＝30のまま。同じ数字から役割の有無で答えが分かれるので、どちらを求めるのかを最初に確認してください。

重複ありのパターンと「コードvs整数」

例題：4種類の記号で3桁のコードを作る。同じ記号を繰り返してよく、各桁の位置は区別し、先頭の記号にも制限はない。何とおり？

各桁に4通りずつ置けるので 4×4×4 ＝ 4³ ＝ 64とおり

条件を変えると答えが変わります。並べて比較すると：

もう一つ確認したいのが「コード」と「整数」の違い。数字0〜3を、同じ数字を繰り返してよいものとして「3桁の整数」を作るなら、先頭に0は置けません。百の位は0以外の3通り、残りは各4通りで 3×4×4 ＝ 48とおり。コードなら64、整数なら48。「コード」「番号」「整数」という言葉は先頭0の扱いを判断する手がかりになりますが、問題文に先頭0の可否が明記されていれば、その条件が最優先です。

（発展：n種類から、同じ種類を何回選んでもよく、選ぶ順番を区別せずにr個選ぶ「重複組合せ」は (n+r−1)Cr。4種類から3個なら6C3＝20です。ここは発展内容なので、基本の順列・組合せを理解した後に確認してください。）

「戻す・戻さない」で確率の構造が変わる

くじや玉の問題では、「取り出したものを戻すか」を最初に確認します。

例題：赤3個・白2個の袋から、戻さずに2個続けて取り出す。2個とも赤の確率は？

P(2個とも赤) ＝ P(1回目が赤) × P(2回目が赤|1回目が赤)
＝ 3/5 × 2/4 ＝ 3/10

2回目の「2/4」は、1回目に赤を取ったという条件の下での確率です。分母は1個取り出したので必ず1減って4になりますが、分子は1回目に何を取ったかで変わります。1回目が赤なら残りは赤2・白2で2回目の赤は2/4、もし1回目が白なら残りは赤3・白1で2回目の赤は3/4。「戻さないなら分子も必ず1減る」ではなく、経路ごとに袋の中身を書き直すのが正確な手順です。

順番を区別しない問題なら、組合せによる別解もあります。

3C2 ÷ 5C2 ＝ 3 ÷ 10 ＝ 3/10（5個から2個選ぶ全10通りのうち、赤2個の選び方は3通り）

戻す場合との比較

戻す（復元抽出）の場合——各回で無作為に取り出し、取り出したものを毎回戻して袋の状態を元に戻すなら——各回は同じ確率で独立に行われます。2個とも赤は 3/5×3/5 ＝ 9/25 です。戻さない（非復元抽出）なら各回は独立ではなく、条件付き確率で 3/10。9/25は、復元抽出の計算を非復元抽出の問題に適用した場合に出る値です。

同じ条件を繰り返すなら二項分布

独立な試行をn回、1回の成功確率pで行うとき、ちょうどk回成功する確率は、

nCk × pᵏ ×（1−p）ⁿ⁻ᵏ

（成立条件：①試行回数nが決まっている、②各試行の結果を成功・失敗の2つに分ける、③各試行が互いに独立、④各試行の成功確率pが同じ）

例題：各回の合格確率が0.8で、結果が互いに独立な検査を3回行う。ちょうど2回合格する確率は？

3C2 × 0.8² × 0.2 ＝ 3 × 0.64 × 0.2 ＝ 0.384

3C2を掛けるのは、「どの1回が不合格になるか」で3通りあるから。2-out-of-3の稼働率計算（記事01）で3を掛けたのと同じ理屈です。「少なくとも2回合格」なら、P(X=2)＋P(X=3)と足すか、1−P(X=0)−P(X=1)と余事象で引くか、どちらでも同じ答えになります。

発展：条件の向きが逆ならベイズの定理

「異常なら警告が出る確率」は分かっているのに、聞かれているのは「警告が出たとき異常である確率」——条件の向きが逆の問題は、ベイズの定理です。

P(A|B) ＝ P(B|A) × P(A) ÷ P(B)（ただしP(B)＞0）

例題：システムの異常検知で、異常が起きている事前確率は1%。異常なら90%の確率で警告が出るが、正常でも5%の確率で誤警告が出る。警告が出たとき、実際に異常である確率は？

記号で整理すると：P(異常)＝0.01、P(正常)＝0.99、P(警告|異常)＝0.90、P(警告|正常)＝0.05
まず警告が出る確率：P(警告) ＝ 0.01×0.90 ＋ 0.99×0.05 ＝ 0.009 ＋ 0.0495 ＝ 0.0585
警告時に異常である確率：0.009 ÷ 0.0585 ≈ 約15.4%

検出率90%という数字だけ見て「警告が出たら90%異常」と答えたくなりますが、実際は15%程度。この例では正常である事前確率が99%と高いため、誤警告の絶対数が本物の警告を上回るんです。条件の向きを取り違えやすいところなので、P(警告|異常)とP(異常|警告)は別物、と区別してください。

解く前の判定フロー

1. 全事象と求める事象を確認。「該当する場合の数÷全場合の数」で求めるときは、各結果が同様に確からしいかを確認
2. 「少なくとも」なら余事象を文章で書く
3. 「または」なら加法定理（排反か確認）、「かつ」なら乗法定理（独立か確認）
4. 戻すか戻さないか、順番・役割の区別、重複の可否を確認
5. 期待値なら「値×確率」を全結果分。確率の合計＝1をチェック
6. 最後に割合・百分率・丸め方を確認

代表的なミスまとめ

仕上げに演習10問どうぞ

演習では、サイコロ、コイン、玉を使った基本問題から、独立事象の同時確率（検査合格×2つ）、故障確率の応用まで。ITの文脈に寄せた確率の使われ方に慣れておくと、セキュリティ分野の計算（記事12でやります）に出てくる関連の計算も理解しやすくなります。

今日のまとめ

• 「少なくとも1回」の余事象は「0回」。「少なくともk回」の余事象は「k−1回以下」。反対の事象を文章で書く
• 「かつ」はP(A)×P(B|A)。独立のときだけP(A)×P(B)。排反と独立は別物
• 期待値は「値×確率」の合計（確率合計＝1を確認）。1回の結果は保証しない。利益なら参加費を引く
• 異なるものから重複なしで選ぶ基本形では、役割・順番を区別するならP、しないならC（割るのはr!）。さらに重複の可否と先頭0の扱いを確認
• 毎回戻して袋の状態が元に戻るなら各回は独立、戻さないなら条件付き確率。経路ごとに袋の中身を書き直す
• ちょうどk回成功はnCk×pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ（n固定・二値・独立・p一定が条件）。条件の向きが逆ならベイズの定理

次回は「音声・画像のデータ量計算」。単位を確認しながら、掛け算を積み上げていきます。

参考資料

• IPA「基本情報技術者試験（レベル2）シラバス Ver.9.2」

本記事の例題は、基本情報技術者試験の出題範囲及び標準的な確率・組合せの定義を参考に、当サイトで独自に作成したものです。

関連する問題

• 基本情報技術者 基礎理論 択一式（応用） 第51問〜第55問
• 基本情報技術者 基礎理論 択一式（応用） 第56問〜第60問